线代笔记_行列式

第一章 行列式

---

第一节：二阶和三阶行列式

---

一、二阶行列式

1. 定义

由二行二列（4个元素）所组成的算式，记作：

其值等于：

• (第一项)主对角线
• （第二项）副对角线

2. 注意要点

• 两项相加。
• 主对角线项为正号，副对角线项为负号。
• ：一般地， 为行标， 为列标，表示第 元素。
• 每一项都是不同行、不同列的元素相乘。
• 书写习惯：先写上行元素，后写下行元素。

3. 二阶行列式的意义

① 代数意义（求解二元线性方程组）

对于方程组：

其解为：

规定：

• ：系数行列式

因此解可简写为：

克莱姆法则（Cramer’s Rule）

注意：重点观察 是否为 。
$$
\left{

\right.
$$

② 几何意义（二维空间中平行四边形面积）

设向量：

• ，模长
• ，模长

平行四边形面积推导：

解释：
当向量共线时，行列式值为 0：

几何结论：向量共线 平行四边形面积为 （退化为线段）。

---

二、三阶行列式

1. 定义

由三行三列（9个元素）构成的算式，记作：

展开式：

特点：

• 三阶行列式共 6 项。
• 前面的符号与主副对角线的方向一致（对角线法则）。

2. 注意事项

• ① 对角线法则：主对角线为正号，副对角线为负号。
• ② 6项相加。
• ③ 习惯：先写上（列）行，后写下（列）行。
• ④ 每一项都来自：不同行，不同列。
• ⑤ 计算方法专门学（后续详述）。

3. 三阶行列式的意义

① 代数意义（解三元线性方程组）

利用克莱姆法则（Cramer’s Rule）：

当系数行列式 时，方程组有唯一解：

其中 分别为将 中第1、2、3列替换为常数项得到的行列式。

② 几何意义：三维空间中平行六面体的体积

向量的混合积：三阶行列式可表示为三个向量的混合积。

特殊情况：

• 当三阶行列式 时，表示三个向量共面（体积为零，平行六面体退化为平面图形）。

---

扩展： 阶行列式的几何意义

阶数	几何意义	体积为 0 的条件
二阶	二维空间中平行四边形的面积	两向量共线（面积为 0）
三阶	三维空间中平行六面体的体积	三向量共面（体积为 0）
四阶	四维空间中“平行八面体”的体积	四向量共体（线性相关），

关键结论：
若四个四维向量线性相关，则其构成的“体积” ，此时对应的四阶行列式值为 0，且有两行（或两列）对应成比例。

---

重要性质总结

1. 线性相关性

• 两行（或两列）对应成比例 行列式 。
• 推广：若矩阵的行（列）向量线性相关，则行列式必为 0。

2. 对角线法则的适用范围

对角线法则只适用于二阶 / 三阶行列式（四阶及以上不可用此方法计算）。

---

第二节：排列与对换

---

一、排列与对换的相关概念

1. 排列的定义

由 个数 组成的一个有序数组，称为一个 级排列（或 元排列）。

例： 可以构成 个 3 级排列。

2. 顺序与逆序

• 顺序：前小后大（递增）。
• 逆序：前大后小（递减）。

3. 一个逆序

一对逆序的数字即为一个逆序。

例：在排列 中

• 构成一个逆序 ✓
• 构成一个逆序 ✓
• 构成一个逆序 ✓
• 构成一个逆序 ✓
• 构成一个逆序 ✓
• 构成一个逆序 ✓
• 不是逆序 ✗
• 不是逆序 ✗
• 不是逆序 ✗

共 6 个逆序。

4. 排列的逆序数

一个排列的逆序的总数，称为该排列的逆序数，记作 或 。

计算方法：

① 后面几个小（从左到右，看每个数后面比它小的数的个数）：
以 为例：

② 前面几个大（从右到左，看每个数前面比它大的数的个数）：
以 为例：

5. 奇排列与偶排列

• 逆序数为奇数：奇排列。
• 逆序数为偶数：偶排列。

6. 标准排列（自然排列）

• 标准排列的逆序数：，为偶排列。
• 完全逆序排列 的逆序数：

---

一、逆序数的求法拓展

问题：已知由 个数组成的排列 的逆序数为 ，求逆序排列 的逆序数。

解：
设原排列中 后面比 小的数有 个（即 贡献的逆序数为 ），则 前面比 大的数有 个。

在原排列中：

在逆序排列 中， 前面比 大的数的个数为 。

因此，新排列的逆序数为：

结论：逆序排列的逆序数 原排列的逆序数。

---

二、对换相关概念

1. 对换的定义

排列中任意两个数交换位置，其余数保持不变。

2. 相邻对换

相邻的两个数交换位置，其余数保持不变。

3. 定理 1

排列经过一次对换，其奇偶性必定改变。

4. 推论

• 奇排列通过对换变成标准排列，需要对换奇数次。
• 偶排列通过对换变成标准排列，需要对换偶数次。
• （标准排列本身是偶排列，逆序数为 0）。

---

第三节： 阶行列式定义

---

一、回顾

1. 三阶行列式展开式

$$

= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \

• (-a_{13}a_{22}a_{31}) + (-a_{12}a_{21}a_{33}) + (-a_{11}a_{23}a_{32})
  $$

行标排列：（自然排列）

列标排列：

• 逆序数 （偶排列）
• 逆序数 （偶排列）
• 逆序数 （偶排列）
• 逆序数 （奇排列）
• 逆序数 （奇排列）
• 逆序数 （奇排列）

2. 一般形式

其中：

• 为 的所有排列（共 种）。
• 为列标排列 的逆序数。
• 符号规则：，偶排列取正，奇排列取负。

---

二、 阶行列式定义（按行定义）

其中：

• 为 的所有排列（共 个）。
• 为列标排列 的逆序数。
• 也可记作 或 。

注意： 阶及以上不再适用对角线法则（对角线法则仅适用于二阶、三阶行列式）。

---

三、特殊行列式的计算

1. 对角行列式（主对角线行列式）

（共 项，但只有主对角线这一项非零）。

2. 上三角行列式与下三角行列式

结论：三角形行列式（上三角或下三角）的值等于主对角线元素的乘积。

3. 副对角线行列式

推导过程：
列标排列为 ，其逆序数为：

副下三角行列式（副对角线下方全为 0）：

副上三角行列式（副对角线上方全为 0）：

---

四、 阶行列式其它形式的定义（按列定义）

$$

= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{31}a_{12}a_{23} + a_{21}a_{32}a_{13} \

• (-a_{21}a_{12}a_{33}) + (-a_{31}a_{22}a_{13}) + (-a_{11}a_{32}a_{23})
  $$

列标排列：（自然排列）

行标排列：

• （偶排列）
• （偶排列）
• （偶排列）
• （奇排列）
• （奇排列）
• （奇排列）

---

第四节：行列式的性质

---

性质一：行列互换，其值不变

结论：行列式的行和列地位等同（行列式转置后值不变）。

性质二：对换行列式的两行（列），行列式变号

则有 。

推论：若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为零（）。

性质三：行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外面

注：若将某一行（列）的 倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。

性质四：行列式中若两行（列）成比例，则行列式为零

证明：由性质三提取公因子 ，得 ，再由性质二的推论（两行相同），括号内行列式为 0，故整体为 0。

---

性质五：行列式具有分行（列）可拆性

若行列式某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将行列式拆分为两个行列式之和：

$$
D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} + a’{21} & a{22} + a’{22} & a{23} + a’{23} \
a{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
=

• \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \
  a’{21} & a’{22} & a’{23} \
  a{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{vmatrix}
  $$

注意：单行（列）可拆性——拆分时只能拆某一行（列），其他行（列）必须保持不动。

---

性质六：倍加变换（行列式的初等变换）

将行列式某一行（列）的元素乘以同一数 加到另一行（列）对应的元素上，所得新行列式的值等于原行列式。

$$

$$

注：此性质是计算行列式最常用的技巧之一，可用于将行列式化为上三角或下三角形式。

---

第五节：行列式按行展开

---

一、余子式

将行列式某元素所在的行和列的元素全去掉，剩余部分所构成的行列式，称为该元素的余子式。记为 （如 ）。

二、代数余子式

一般地，元素 的代数余子式为：

三、引理

阶行列式若第 行除 元素外都为 0，则该行列式等于 与其代数余子式的乘积。即：

四、定理 2（行列式按行/列展开法则）

行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应代数余子式乘积之和：

或按列展开：

五、行列式按行/列展开的逆向应用

1. 运用加边法（升阶法）求解行列式

加边法基本思想：通过升阶（增加一行一列）构造含 1 的新行列式，便于后续行变换化为爪型或三角型，再按行展开。

逆向思维：加边后通常会在第一行（列）留下公因子或便于消去的元素，从而简化原行列式计算。

一般形式：

$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \

• & & & & \
  0 & & & & \
  \vdots & & & & \
  1 & * & * & * & *
  \end{vmatrix}
  = 1 \times (-1)^{n+1}
  $$

或左上角加边：

右上角同理：加边位置可在右上角，符号根据位置相应调整。

例题 1：平方和型行列式

解：采用加边法，升为 阶行列式

将第 1 列的 倍加到第 列（），化为爪型行列式：

（后续可继续按行展开或化为三角型求解，最终结果为 ）。

例题 2：含参数线性型行列式

解：同样采用加边法，添加第 0 行和第 0 列

将第 0 行的 倍分别加到第 至第 行，或直接利用各行元素关系，化为爪型：

提取各列公因子 后，可进一步计算（最终结果通常为 ）。

---

2. 求余子式/代数余子式之和

问题类型：（求某行代数余子式之和）。

技巧：利用单位向量构造：

实质：相当于将原行列式某行替换为 后按行展开。

---

3. 重要推论（正交性）

定理：行列式某行元素与其他行对应元素的代数余子式相乘然后相加，最后结果为 0。（列也成立）

解释：这相当于用第 行元素去替换第 行后展开，得到两行相同的行列式，值为 0。

---

第六节：特殊行列式与计算方法总结

---

一、拉普拉斯展开式（Laplace Expansion）

对于分块矩阵形式的行列式（ 阶）：

设

则有：

或更常见的形式：

分块对角/三角矩阵的行列式

说明：其中 表示 阶方阵， 表示 阶方阵， 表示零矩阵。

---

二、爪型行列式

1. 标准爪型行列式

解法：用斜爪消平爪（或消竖爪也可），化为对角形行列式。

计算结果：

2. 含参爪型行列式（顶点值不为1）

解法：消竖爪，从第 列提出公因子后，各行分别减去第 行的适当倍数。

完整化简过程：

（注：化简后括号内为 ）。

注意事项：要注意顶点的数值。

---

三、对称行列式与反对称行列式

1. 对称行列式

定义：满足 （即元素关于主对角线对称）的行列式。

2. 反对称行列式

定义：满足 的行列式。

性质：主对角线上元素全为 0（因为 ）。

重要性质：奇数阶反对称行列式等于 0。

证明过程：

因此 。

---

四、范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant）

定义：

计算公式：

展开形式（以 为例）：

记忆要点：所有下标大的减下标小的，共 个因子。

---

五、用递推法求行列式

例 1：

解：按第一行（或第一列）展开，建立递推关系：

初始条件：

求解：

因此：

---

例 2（题中例 14）：

解：按第一行展开，得到递推关系：

建立齐次递推关系：

特征方程：

通解：

代入初始条件：

解得：

最终结果：

（图中另注：也可写成 或验证小值 符合）。

---

例 3（题中例 15）：

解：按第一行展开，建立递推关系：

分类讨论：

① 当 时：

② 当 时：

---

例 4（题中例 16）：

解：按最后一列展开，得到递推关系：

迭代求解：

或写成求和形式：

---

六、行列式计算的基本方法总结

注：任何行列式都可以通过行变换化为上/下三角行列式。

---

七、用数学归纳法证明行列式

核心思路：

① 第一个正确 所有都正确。

② 前一个正确 后一个正确。

具体应用策略：

说明：这两种策略分别对应归纳法的不同应用场景。第一种适用于只需验证初始情况即可递推的情形；第二种适用于需要前两项才能确定递推关系（如二阶线性递推）的情形，常用于证明具有二阶递推结构的行列式公式。