线代笔记1

第一章 行列式

第一节 二阶和三阶行列式

一、二阶行列式

1. 定义

由两行两列共4个元素组成的算式，记作：

其值为：

D = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁

此计算规则称为对角线法则：主对角线（左上到右下）元素乘积取正号，副对角线（右上到左下）元素乘积取负号，两者相加。

2. 注意事项

• 结果为两项的代数和。
• 主对角线项为正，副对角线项为负。
• 元素 a_ij 的下标含义：i 为行标，j 为列标。
• 展开式的每一项均由不同行、不同列的两个元素相乘得到。
• 书写习惯：通常先写第一行的元素，再写第二行的元素。

3. 二阶行列式的意义

• 代数意义：求解二元线性方程组 对于方程组：

  定义：

  • 系数行列式：
  • （用常数项替换 D 的第一列）
  • （用常数项替换 D 的第二列）

  则方程组的解为（克莱默法则）：

  重点：需判断系数行列式 D 是否为0。若 D = 0，则方程组可能无解或有无穷多解。

• 几何意义：二维空间中平行四边形的面积 设平面内两个向量 m⃗ = (a₁₁, a₁₂)， n⃗ = (a₂₁, a₂₂)。以它们为邻边构成的平行四边形的面积 S 恰好等于由它们坐标构成的行列式的绝对值：

  推导思路：S = |m⃗|⋅|n⃗|⋅sin θ，通过三角恒等变形可证其等于行列式的值。

  几何解释：当两向量共线（即 n⃗ = km⃗）时，平行四边形退化为一条线，面积为0，对应行列式值为0：